使用EikoTwin DIC来完成力学正则化

作者：Lucas Angénieux   EikoSim公司  研发工程师

在EikoTwin DIC中，位移场的计算是在模拟网格上进行的。然而，由于这个数学问题本质上是不适定的，因此有一个力学正则化参数，允许用户将力学条件添加到现场测量中。与大多数数字图像相关软件相反，在EikoSim，我们选择使用力学“过滤器”，以便不以人工方式进行过滤，而是通过正则化保持力学意义。我们将在本文中了解这种正则化的含义，从而为其使用提供一些建议。

 

为什么要添加力学正则化？

 

在数字图像相关（DIC）中，为了从一组图像中计算位移场，我们使用参考图像和后续图像的灰度来跟踪两者之间的位移（有关DIC基础知识和全局方法的更多信息）。灰度守恒假设允许建立最小化问题（1），以矩阵形式：

[MDIC]⋅{δu}={b}(1)

用于解决该问题的高斯-牛顿型格式具有良好的收敛特性，但如果损失函数有许多平坦部分或局部极小值，则可能无法收敛到令人满意的结果：该问题被称为不适定（见图1）。因此，我们将寻找一种方法来修改此函数，以允许算法收敛，尽管存在这些问题。

图1–数学上不适定的问题–红色圆圈的局部极小值

用于解决复杂问题的解决方案之一是使用正则化。这种技术包括在要最小化的损失函数中添加一个惩罚项，以丢弃最不满足结果场上预期的某些标准的解。在力学正则化的情况下，力学上不允许的位移场（例如太“高频率”）将受到惩罚。此解决方案作为一种力学“过滤器”，可以接近当前大多数DIC软件中使用的过滤器，但此处仅作力学假设。

 

EikoTwin DIC中的力学正则化

为了给问题添加力学信息，我们可以基于固体本构方程，并根据所考虑的材料简化假设。除建筑材料或多相材料外，我们可以选择线性、均质和各向同性弹性（LHI）中的胡克定律，这将允许忠实地处理许多工业情况。

根据胡克定律和固体的静态平衡（3），我们将方案（1）修改为以下形式（4）[1]：

σ––––(x––)=C––––––––:ε––(x––)(2)

∇––.σ––––+f––=0(3)

([MDIC]+[MReg])⋅{δu}={b}–[MReg]⋅{u}(4)

因此，新系统等效于最小化新的损失函数，即图像相关函数和正则化函数的线性组合（见图2）。必须对这两个函数进行加权，以避免其中一个函数对测量场产生太重要的影响。这是用户在EikoTwin DIC中选择的正则化长度的操作。

 

EikoTwin-DIC中的正则化长度

在EikoTwin DIC中，用户在启动位移场和应变场测量时选择3个参数：最大迭代次数、收敛准则和正则化长度。该长度的选择会影响结果以及收敛速度。因此，有必要理解其物理含义，以便做出最佳选择。

 

在下面，我们将讨论不同的示例。这些示例基于使用EikoTwin Virtual生成的虚拟图像，EikoTwin Virtual是EikoSim开发的软件（有关更多说明，请参阅关于使用EikoTwin Virtual进行虚拟测试的文章）。因此，有可能生成相关图像，我们完全了解这些图像的几何形状和理论位移和应变场，并将其用作参考。

 

正则化长度视为线弹性模型局部近似区域的大小

如前所述，力学正则化基于本构定律：线性、均质和各向同性弹性中的胡克定律。在没有机械正则化的情况下，有限元形式主义已经在测量过程中施加了从一个节点到另一个节点的位移连续性。正则化允许我们在局部向一组节点添加机械假设。因此，正则化长度可以视为局部区域的大小，其中模型由线弹性模型近似。因此，过大的正则化长度会将零件的运动限制为刚体运动，而小于元素大小的正则化长度则不会产生任何影响。

 

在图3的示例中，我们观察到一个平面零件，其沿零件法线的位移步长为2 mm（在右侧的图中，绿色曲线表示应用于该示例中使用的虚拟图像中零件的位移轮廓）。这里，应用的正则化长度（100 mm）可以被视为测量0到2 mm步长的长度。右侧的图表显示了根据法线的位移剖面，其中“过渡区”为100 mm。该区域确实是之前所见的线弹性本构关系的影响有效可见的区域。

图3——正则化长度，被视为不连续处的“过渡”长度

在实践中，必须小心不要选择与试图测量的数量级相比太重要的正则化长度，不要丢失初始测量中包含的信息，可能会产生噪声（没有正则化长度）。

 

作为低通滤波器截止频率的正则化长度

人们还可以将正则化长度视为一个滤波器，它可以切断位移场中的高频变化。在这种情况下，与截止频率相关联的波长等于正则化长度。

下图4给出了这一愿景的相关说明。在此，我们观察2000 mm L形模型的情况。该模型的虚拟图像（使用EikoTwin Virtual）按照图4的轮廓生成：沿Y方向的伪正弦法向位移，具有固定振幅，其波长沿模型长度从100 mm到1500 mm连续变化。这些元件的尺寸约为60 mm。

图4–具有可变波长伪正弦位移的实体模型示例

然后，我们分析图5中不同机械正则化长度（从顶部的50 mm到底部的1000 mm）的测量位移场。正如预期的那样，正则化对最小长度（小于元素大小的值；信号有噪声，但已测量所有位移波动）没有影响。对于最大的正则化长度（对应于板尺寸的一半），在元素的尺度上不再有非常高的频率波动（“噪声”）（尤其是靠近垂直面的区域）；在这1000 mm长度之前的小波长明显衰减。只有波长大于1000 mm的波才能正确测量。在右侧，沿零件Z轴上的直线绘制了法向位移轮廓。然后，我们可以根据使用的波长观察不同的位移剖面，这突出了正则化的低通滤波器样行为。

走向更为数学化的机械正则化视野

另一种查看问题（4）中力学正则化的影响和权重的方法如下图6所示：

图6–正则化长度对损失函数的影响

在图6中，我们看到正则化长度对机械正则化损失函数有影响[1]。因此，在本例中，长度L1（太小）对总损失函数的影响很小，并且右侧将保留与解不对应的局部极小值，算法可能无法正确收敛。长度太长的L3会给机械正则化带来太多的权重，因此会区分全局最小解。我们看到，长度L2将取代右侧的局部极小值，并支持左侧的最小值，这就是解决方案。

 

如何选择合适的机械正则化长度？

需要注意的是，正则化长度取决于所研究的情况（网格、测量区域、要观察的现象等），绝对值中没有“理想”长度。用户可以通过在计算速度、收敛性和细节水平（即位移场的丰富程度）之间进行最佳折衷，为其特定情况选择最合适的正则化长度。本文首先可以更好地理解力学正则化对解场的影响以及要应用的长度的物理意义。

 

为了说明本节内容，我们将查看在感兴趣区域内95 mm长、网格尺寸为2 mm的常规拉伸试样虚拟图像上测得的应变。沿拉伸轴的参考应变场（用于生成图像）如下图7所示。

图7–本示例所用试样的拉伸应变场、

 

在EikoSim，我们首先建议在不进行正则化的情况下进行全面测量。这提供了初步结果，没有任何机械正则化效果。在第二步中，2个或3个元素大小的正则化长度可能与在没有测量噪声的情况下改进收敛性有关。分析正则化长度对特定感兴趣量（位移传感器、应变计等）或场（位移、应变、相关残差）的影响也有助于优化此选择。这就是我们在本例中对样本所做的。从溶蚀和我们的图像来看，更重要的是关注试样中间的残余和应变，而不是位移场。

残差场是判断正则化长度选择的有效工具。用户可以通过增加长度来启动不同的测量，并研究其对剩余字段的影响（使用批处理模式插件在这里尤其相关）。从某个值开始，正则化长度将增加残差，尤其是在零件变形最严重的区域。事实上，测得的位移场将类似于刚体运动，在这种情况下，正则化项在全局函数中的贡献将不成比例。因此，我们可以研究我们观察到的残差局部增加的值，特别是在我们测试感兴趣的领域。在我们的示例中，我们可以在图8中看到，从15 mm的正则化长度开始，残差增加，甚至在30 mm后爆炸，这是位移场测量非常糟糕的迹象。因此，建议选择0到10 mm之间的长度（即0到5个元素）。

图8–剩余场的正则化长度效应

 

沿试样的拉伸应变剖面见图9（通过在固定时间绘制剖面上沿拉伸轴的应变）。根据上面给出的正则化效果的解释，这里可以直接看到用户选择的正则化长度对EikoTwin DIC中进行的测量的影响。如果正则化长度太大，场将被平滑和压碎，沿轮廓测量的应变将减小。这些轮廓证实了之前所看到的6 mm（即3个元素）正则化长度与15 mm长度的选择。这种情况说明了正则化（对干扰测试结果的高频进行过滤）的重要性，同时显示了选择太长的长度可能产生的负面影响。因此，必须特别注意正则化长度的选择，以便在计算的速度和收敛性以及测量的详细程度之间取得尽可能好的折衷。

图9–正则化长度对试样拉伸应变剖面的影响

 

结论

在本文中，我们已经看到EikoTwin DIC中的力学正则化是一种数学工具，它通过数字图像相关对场的测量施加力学条件。力学正则化允许纠正某些测试过程中可能出现的错误：模拟网格太细，散斑图案不适合网格大小，测量噪声太重要，妨碍了结果的正确解释，等等…

 

正则化长度的不同物理或数学方法有助于更好地理解其用途，以便在测试期间获得优异的结果。在实践中，首先进行没有正则化的分析，然后通过查看特定于测试的感兴趣的数量来逐步演化该长度，从而可以选择适应的正则化长度。长度等于2或3个元素的大小通常适用于大多数情况。

 

生物力学参考

[1] Arturo Mendoza, Jan Neggers, François Hild, Stéphane Roux. Complete Mechanical Regularization
Applied to Digital Image and Volume Correlation. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Elsevier, 2019, 355, pp.27-43. 10.1016/j.cma.2019.06.005 . hal-02148780, Complete Mechanical Regularization Applied to Digital Image and Volume Correlation – Archive ouverte HAL (archives-ouvertes.fr)