复合材料样本的优化设计：从规范测试到模拟辅助识别

本文基于 Antoine Vintache 与巴黎-萨克雷机械实验室 (Laboratoire de Mécanique de Paris-Saclay)的 François Hild 合作的 M2 实习工作，并在 ECCM21 会议 [1] 上发表。这项工作得到了 ArianeGroup 的支持。

在实验力学中，复合材料试验通常基于标准化的试样几何形状。这些几何形状——单轴拉伸、三点弯曲、约西佩斯库剪切等——是在测量资源仅限于点传感器（主要是应变计）的背景下设计的。因此，这些几何形状通常是为了保持变形状态的均匀性而开发的。它们至今仍被广泛使用，尤其是在标准领域。然而，测量工具的发展，尤其是数字图像相关（DIC）等全场应变测量技术的发展，对这些几何形状的适用性提出了质疑。这些方法可以详细观察整个表面的位移和变形场。它们为更深入地利用每个测试开辟了可能性。同时，使用基于测试结果的模型更新工具，可以从单个测试中识别多个材料参数。在这种情况下，样本几何形状成为一个优化变量，可以进行调整以最大限度地从测试中提取有用信息量。

参数可识别性问题

并非所有这些参数都能从给定的测试中识别出来。参数的灵敏度定义为由该参数的变化引起的测量量（例如位移场）的相对变化。如果这种灵敏度相对于测量不确定度较低，则参数识别会变得困难。
因此，符合现有标准的测试无法识别某些组成参数。如果没有明确评估，这种可识别性的缺乏可能会一直不可见，从而导致识别错误，特别是与参数之间的耦合相关的错误，或过度依赖数值正则化。
在这种情况下，有必要依靠定量方法来识别参数，整合测量不确定度和参数之间的耦合。这不仅使我们能够评估给定测试的相关性，而且还能优化其设计，以最大限度地利用可利用的信息量。

基于 EikoTwin Digital Twin 的模型拟合方法

材料参数的识别可以表述为一个逆优化问题：调整有限元模型 (FEM) 的参数，以减小模拟结果与实验测量结果之间的差异。本文采用的方法基于集成到 EikoTwin 数字孪生环境中的加权有限元模型更新 (FEMU)。
目标是最小化基于测量数据和模拟数据之间马氏距离的成本函数，同时明确考虑实验的不确定性：

其中 F 表示力，U 表示位移场，指标 m 和 FE 分别指测量数据和模拟数据，协方差矩阵模拟每个数据源的不确定性。
识别采用高斯-牛顿算法求解，该算法基于对成本函数 Hessian 矩阵的估计。该 Hessian 矩阵由模拟数据对材料参数的敏感度向量构成。
当某些参数的敏感度较低时，问题将变为病态问题。然后引入 Tikhonov 型正则化来稳定解。它包括添加一个惩罚项来惩罚参数与初始值的偏差，并迭代调整权重。
该方法充分利用了图像相关工具提供的测量场，同时为评估参数的影响及其在给定测试中的可识别性提供了严格的基础。

敏感性分析作为设计工具

灵敏度分析是试样几何优化过程的核心要素。它使我们能够评估，对于给定的测试，哪些材料参数会对测量数据产生显著影响，同时考虑到实验的不确定性。可以使用 EikoTwin 数字孪生或专用脚本来执行此操作。

敏感性分析：Hessian矩阵、特征值和参数以及可识别类。

主要工具是 FEMU 成本函数的 Hessian 矩阵，此处根据信噪比 (SNR) 以加权形式表示。该矩阵中的每个对角项对应于一个参数的敏感度，而非对角项则反映参数之间的相关性。
为了解释这个 Hessian 矩阵，需要进行对角化。这提供了：

• “特征参数”的正交基（初始参数的线性组合）；
• 以对数 SNR 尺度表示的一系列特征值，量化每个“特征参数”的可识别性。

基于这些数量，我们建议将其分为“可识别性类别”[1]：

• 类别（特征值的十进制对数的整数部分）为负数的特征参数被视为无法识别（敏感度 < 不确定性）；
• 具有正类或零类的那些是可识别的。

然后将这些类别重新投影到初始材料参数上，为每个参数分配一个总体类别。这决定了每个测试样本几何形状的可识别参数数量。这种方法在设计阶段尤其有用。通过探索几何空间（例如受力单元长度、层压角度），可以映射可识别参数的数量，并找到能够最大化提取信息的几何配置。

案例研究：优化层压复合材料的 Iosipescu 试验

本研究案例涉及Iosipescu型层压复合材料试验，该试验由20层对称铺层组成，铺层方向分别以α和β两个角度排列。其力学行为采用正交各向异性和弹性模型，需要识别9个本构参数。

测试的示意图和要优化的几何参数（𝐿、𝛼、𝛽）

试件的三个几何参数被用作优化变量：

• L，Iosipescu 测试钳口之间的距离；
• α，第一组褶皱的方向；
• β，第二组褶皱的方向。

目的是基于前文提出的灵敏度分析，确定使组成参数可识别性最大化的 L、α 和 β 值。Rossi
和 Pierron [2] 展示了一种优化测试几何形状的方法，该方法通过精确复制模拟测试数据来提高可识别性。在他们的研究中，对每种可能的几何形状都进行了完整的识别程序，而本研究则引入了一种在试件制造之前即可进行测试几何形状优化的方法，并且计算成本更低。

探索配置

已确定了三项勘探计划：

1. (α,L) 对于单向复合 (β=0∘) ；
2. (α,L) 为 0°-90°“交叉”复合材料（β=90∘）；
3. (α,β) 其中 L=5 毫米，该值被认为有利于可识别性。

对于每种配置，都会进行一系列有限元模拟。计算每个组成参数每个单位变化的灵敏度（每个配置进行10次模拟）。这相当于数千次模拟，并根据灵敏度等级进行分析。使用的标准是所有参数等级的平均值，必须最大化该平均值才能找到9个参数总体上最有利的配置。

与每个探索计划相关的平均类别图。（a）𝛽 = 0°；（b）𝛽 = 90°；（c）𝐿 = 5 毫米。红色圆圈表示最优值（全局最大值）。

分析表明，较低的 L 值总体上更有利于识别。L=5 毫米的 (α,β) 平面最多可识别五个类别大于或等于 0 的参数：𝐸₁、𝐸₂、ν₁₂、ν₂₃ 和 𝐺₁₂。
通过在精细网格上对结果进行插值，可以确定最佳配置，其值为 L=5 毫米、α=69∘、β=46∘（上图中的红点）。选择此几何形状来生成虚拟试验，旨在测试合成外壳的识别能力。

虚拟测试与识别

通过对几何形状优化且材料参数随机扰动（标准差约为 8%）的试件进行变形，生成虚拟数据集。利用 EikoTwin Virtual 生成的虚拟图像，通过 EikoTwin DIC 进行数字图像相关分析，获得位移场。此外，还模拟并添加了噪声。

用于验证该方法的算法图

所有材料参数均已识别，并在每次收敛时放松正则化。L 曲线分析用于确定要应用的正则化级别（此处为 10-3），以最小化两个泛函（FEMU 和正则化）。通过此正则化，FEMU 识别可恢复初始参数，均方误差降至约 5.7%。最敏感的参数（𝐸₁、𝐸₂、𝐺₁₂）的识别误差较低（<1%），而其他参数在正则化作用下仍接近其初始值。

算法进展和 L 曲线

现实测试的前景

完整的链条基于三个组成部分：

• EikoTwin Virtual：通过有限元模拟生成逼真的图像，从而实现测试准备和测量质量预测。
• EikoTwin DIC：通过数字图像相关处理真实图像，产生与模拟几何一致的位移场。
• EikoTwin 数字孪生：敏感性分析，然后通过最小化 FEMU 成本函数重置材料参数，同时考虑不确定性。

在昂贵的测试和复杂的材料环境下，这种方法可以实现：

• 先验评估几何配置是否可用于识别所需参数；
• 在试验前调整试样的几何形状；
• 减少实现给定目标（重新校准、认证、模型验证）所需的测试次数。

该方法尤其适用于各向异性、非均质性或性能复杂的材料，因为规范性试验通常无法充分约束这些材料的所有参数。基于现有研究[3]，我们还可以设想设计一个方案，通过同时对所有这些试样进行优化来识别几种互补的几何形状，因为它们遵循相同的材料定律。这将使我们能够识别一些不太敏感的参数，同时仍然限制完全识别一种材料所需的试验次数。

结论

通过从一开始就整合现有的全场测量和数值模拟能力，可以优化用于识别力学参数的试样设计。传统的基于规范几何形状的方法无法保证目标参数的可识别性，尤其是在正交各向异性复合材料的情况下，并且会导致试验涉及大量试样。
使用 EikoTwin 数字孪生模型，可以通过基于识别成本函数 Hessian 矩阵的灵敏度分析来定量评估这种可识别性。灵敏度等级的分类可以直接指示每个测试的信息潜力，并指导几何参数的选择。

示例表明，通过优化 Iosipescu 检验的几何形状，可以识别至少五个参数，其精度与实验不确定度相符，从而减少多次测试的需要。
该方法与 EikoTwin 工具相结合，提供了一种系统化的方法，用于在集成模拟、不确定度和实验测量的严格框架内，设计高效的、针对精确识别目标的测试。

参考

[1] A. Vintache 等人，弹性和正交各向异性参数识别的测试优化，ECCM21 会议，2024 年。
[2] M. Rossi、F. Pierron，《关于使用模拟实验设计全场测量材料特性测试的方法》。《国际固体与结构杂志》，49[3]:420-35，2012 年。
[3] J. Neggers、F. Mathieu、F. Hild、S. Roux，《同时进行全场多实验识别》。《材料力学》，133:71-84，2019 年。